Il quadrato magico di Franklin

Genio poliedrico, Franklin, fu uno dei Padri fondatori degli Stati Uniti, ma non solo, svolse attività di giornalista, pubblicista, autore, diplomatico, attivista, inventore e scienziato. Diede contributi importanti allo studio dell’elettricità e fu un appassionato di meteorologia e anatomia. Inventò il parafulmine, le lenti bifocali, l’armonica a bicchieri e un modello di stufa-caminetto. Per la sua notorietà e multiforme attività, gli viene attribuita l’invenzione di diversi altri dispositivi che in realtà semplicemente utilizzò, portandoli alla pubblica attenzione, o migliorò, come l’odometro. 
Il quadrato di Franklin è un quadrato magico imperfetto di ordine 8 (8×8) con costante magica M(n) uguale a 260. E’ imperfetto in quanto la somma delle due diagonali è 228 per la prima e 292 per la seconda. Franklin ha sacrificato le diagonali intere in favore delle mezze diagonali, ciò nonostante, il suo quadrato ha tali e tante di quelle proprietà che in molti, anche matematici famosi hanno cercato di scoprirle tutte, soprattutto si sono sfidati nel cercare di capire se Franklin avesse adottato un algoritmo logico per la costruzione del suo quadrato.

Il quadrato magico di Dürer

Albrecht Dürer (Norimberga, 21/05/1471 – 6/04/1528) è stato un pittore, incisore e matematico tedesco. Figlio di un ungherese, viene considerato il massimo esponente della pittura tedesca rinascimentale.
E’una delle sue incisioni più importanti, Melencolia I, che lo lega ai quadrati magici.

In questa xilografia, l’artista mostra un angelo immerso nei suoi pensieri, circondato da oggetti matematici e scientifici tra i quali una griglia contenente dei numeri. 
Il famoso quadrato di Dürer è un quadrato magico perfetto di ordine 4 (4×4) con costante magica M(n) uguale a 34.

La sua particolarità sta nel fatto che la costante magica 34 la si ritrova in molti schemi, oltre che nella somma dei numeri presenti in ogni singola riga, colonna e diagonale. Il 34 sembra spuntare quasi ogni qualvolta si prenda in esame alcuni gruppi di 4 numeri e si faccia la somma; questa caratteristica, a giusto titolo, gli permette di essere definito quadrato supermagico.

Costruzione quadrato magico

I quadrati magici del tipo 1 a n² possono essere costruiti per tutti i valori possibili di n tranne 2. Non tutti i quadrati magici del tipo 1 a n² sono costruiti nello stesso senso. Cadono in tre sub-classificazioni differenti:

• n dispari
• n divisibile per 2 ma non per 4, o numero semplicemente pari
• n divisibile per 4, o numero doppiamente pari

Il metodo per costruire un quadrato magico con n dispari è abbastanza semplice. Si inizia mettendo 1 nella colonna centrale della fila superiore.

Si compila la colonna seguente del numero uno (a destra) e ad una fila superiore. Se siete già alla fila superiore, si compila una colonna alla destra nella fila inferiore.

E se siete nella colonna di estrema destra, si compila il numero seguente nella colonna di estrema sinistra, una fila in su.

Se il quadrato già è occupato da un numero più piccolo, si posiziona il numero seguente nel quadrato immediatamente sotto all’ultimo immesso, si procede in tal maniera fino a comporre tutto il quadrato.

Infine, si verifichi che ogni fila, colonna e diagonale diano come somma algebrica lo stesso numero, in questo caso, 65.

Naturalmente i quadrati magici possono essere costruiti usando un sottoinsieme dei numeri compresi tra 1 a n². Per esempio, un quadrato magico può essere costruito usando soltanto i numeri primi (in alcuni casi potrebbe essere necessario accettare 1 come numero primo per avere un quadrato magico). In questo esempio, la costante di magia è 111:

I quadrati magici possono anche essere costruiti dai reciproci di alcuni numeri primi. Per esempio, 1/7 è circa 0.142857 e possiamo quasi fare un quadrato magico composto da quelle cifre:

Ogni fila e colonna ha come somma 27 anche se le diagonali non hanno tale valore.

 

 

 

La costante magica

Il tipo più comune di quadrato magico è quello che usa i numeri da 1 a n², con il quadrato 3×3 che è forse il più famoso:

La costante di magia di questo quadrato è 15.
La costante di magia di un simile quadrato può essere computata con questa formula:

 

 

Classificazione dei quadrati magici

Una prima classificazione dei quadrati magici è quella più immediata e naturale è data dall’ordine.

L’ordine è il numero di quadrati che formano il lato della scacchiera (griglia), che a sua volta non è altro che la suddivisione in righe e colonne del quadrato preso in considerazione.

L’ordine è una proprietà intrinseca del quadrato magico, è il suo Lato, ovvero il numero di sotto-quadrati che lo compongono, quindi, ogni quadrato sarà determinato da un preciso ordine n.

Un quadrato magico di ordine n, le cui entrate sono gli interi da 1 a n2, viene detto quadrato magico perfetto o quadrato magico normale. Non è stato mai dimostrato, ma si tende a credere che l’ordine dei quadrati magici possa essere infinito mentre è certo che il quadrato magico di ordine n=1 sia insignificante e quello di ordine n=2 è matematicamente impossibile. Il più piccolo caso non banale è quindi il quadrato di ordine n=3 (es: Lo Shu).

Si dice quindi quadrato magico perfetto o normale quel quadrato che ha:

1) La somma dei numeri presenti sulle singole righe uguale alle costante magica

2) La somma dei numeri presenti sulle singole colonne uguale alle costante magica

3) La somma dei numeri presenti sulle singole diagonali uguale alle costante magica

4) I cui numeri presenti sono interi da 1 a n^2

Quando almeno una di queste 4 caratteristiche non è presente, il quadrato viene detto quadrato magico imperfetto o non normale.

Lo Shu (3×3)

Il quadrato Lo Shu è un quadrato magico normale di ordine 3, cioè una matrice di aspetto contenente tutti gli interi da 1 a 9 senza ripetizioni disposti in modo tale che sommando i numeri sulle diverse righe, colonne o diagonali si ottenga sempre lo stesso valore che deve essere 15.

Originario della Cina, sulla sua origine sono fiorite leggende, una delle quali rimanda al 2800 a.C., quando si sarebbe verificata una disastrosa piena del fiume Lo causata dall’ira del dio del fiume: in quell’occasione, narra la leggenda, la popolazione offrì sacrifici al dio per far cessare il disastroso evento. Dopo ogni sacrificio dal fiume emergeva una tartaruga, ma la furia del fiume non si placava. Solo dopo vari tentativi un bambino si accorse che la tartaruga inviata dal dio aveva segnata sul guscio una rappresentazione del quadrato magico. Questo significava che il dio chiedeva un sacrificio di 15 entità e l’accoglimento del messaggio portò alla fine della piena.

Questa configurazione è stata considerata un simbolo dell’armonia universale: i numeri da 1 (l’inizio di tutte le cose) a 9 (il completamento) sono considerati benaugurati, soprattutto il 5 centrale. La somma magica 15 si interpreta come la durata di ciascuno dei 24 cicli dell’anno solare cinese; l’alternarsi dei numeri pari e dispari sulle caselle periferiche si interpreta come alternarsi armonioso di yang e yin. Nell’antica Cina ci si ispirava a questo quadrato per progettare templi e città suddivise in 3 × 3 settori.

Dal 1982, stilizzato con perforazioni analoghe a quelle in uso nelle prime schede perforate dei calcolatori elettronici ed iscritto in una forma circolare, è il simbolo della professione ragionieristica.

La Leggenda di Yu Il Grande, imperatore della Cina:

Una curiosa leggenda narra che un pescatore trovò lungo le rive del fiume Lo; un affluente del fiume Giallo, una tartaruga che portava incisi sul suo guscio degli strani segni geometrici

il pescatore portò la tartaruga all’imperatore e i matematici al suo servizio, studiando quei segni, scoprirono un’imprevedibile struttura:

un QUADRATO DI NUMERI con somma costante 15 su ogni riga, colonna o diagonale.

Quadrati magici (definizione, storia)

Anche le tartarughe sanno contare…Strano? No, … Magico
(Definizione, storia)

Ma cosa c’è di magico in un quadrato con dei numeri?
Usando le parole di chi si esprime sicuramente meglio di noi: “Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi positivi distinti in una tabella quadrata tale che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo stesso numero; tale intero è denominato la costante di magia o costante magica o somma magica del quadrato”. Come definizione diciamo che non è affatto male, se poi ne vogliamo una matematicamente più rigorosa, questa potrebbe fare al caso nostro: “Con il linguaggio della matematica, se n è un intero maggiore di 2, si definisce quadrato magico ogni matrice quadrata di ordine n a valori interi e iniettiva tale che le somme delle entrate di ciascuna delle righe, di ognuna delle colonne e di entrambe le diagonali abbiano lo stesso valore intero”.

Un po’ di storia sui quadrati magici (Simbolismi, credenze e poteri divinatori, ma, fortunatamente, non solo…)

I quadrati magici in genere erano oggetti spirituali per gli indù, i mussulmani, gli ebrei ed i cristiani. In Turchia ed in India, alle vergini veniva chiesto di ricamare quadrati magici sulle tuniche dei guerrieri. Si credeva che un quadrato magico posto sul ventre di una donna in travaglio facilitasse il parto. Lo-Shu diventò anche forma di ornamento in ampie aree dell’Asia, assumendo un valore simbolico e propiziatorio legato alla credenza che un quadrato magico inciso su una piastra di metallo prezioso o nel cuoio, e portato al collo, potesse proteggere da gravi malattie e calamità. Questa tradizione perdura ancora oggi in alcuni paesi dell’Oriente, dove questi simboli vengono incisi anche su utensili di uso quotidiano come ciotole e recipienti per la conservazione di erbe o di pozioni medicinali.

L’ ordine del quadrato Lo Shu (3X3), il più semplice, cominciò ad “espandersi” e fecero la loro prima comparsa quadrati magici di ordine più grande (4X4, 5X5, …10X10,…). Ampliando l’ordine, i quadrati magici aumentavano di complessità combinatoria

I quadrati magici furono importati in Europa durante il Medioevo e il loro influsso esoterico e la scia di misticismo cinese ed indo-arabo contribuirono ad alimentare teorie e congetture. Sembrava che grazie a queste griglie numeriche si potesse spiegare qualsiasi fenomeno dell’universo sia materiale che umano. Per gli astrologi e gli studiosi di magia, poi, avevano speciali significati; così per Cornelio Agrippa il quadrato magico di ordine 1 simboleggiava l’unità e l’eternità, l’inesistenza del quadrato magico di ordine 2 indicava l’imperfezione dei quattro elementi, mentre i sette quadrati magici degli ordini da 3 a 9 rappresentavano i sette pianeti allora conosciuti (la numerazione è stata assegnata rispettando l’ordine della sequenza planetaria nel sistema magico caldeo: 3 Giove, 4 Saturno, 5 Marte, 6 Sole, 7 Venere, 8 Mercurio, 9 Luna).

Durante il rinascimento forte fu il connubio con l’arte e numerosi artisti inserirono nelle loro opere quadrati di ordine diverso; incisioni o rappresentazioni su tela a cui i quadrati davano un alone di simbolismo e misticismo, rendendo l’opera stessa un “pensiero” da decifrare.

Bisogna attendere il 1300 per avere una prima vera analisi sui quadrati magici da un punto di vista meramente matematico. Analizzando il lavoro dell’arabo Al-Buni, l’erudito bizantino greco Manuel  Moschopoulos (circa 1265 – 1316) scrisse un trattato matematico a proposito dei quadrati magici, andando oltre il misticismo dei suoi predecessori.  Si pensa che Moschopoulos fu il primo occidentale ad occuparsi dell’argomento. Intorno alla metà del XV secolo, l’italiano Luca Pacioli studiò queste strutture e raccolse tantissimi esempi. Si cominciava così a dare la giusta interpretazione della struttura logico-matematica di queste griglie di numeri.

Nel 1599 Diego Palomino pubblicò a Madrid un’opera sui quadrati magici, ma non indicò alcun procediment; una to generale per costruirli. Un elegante metodo per trovare quelli di ordine dispari fu pubblicato nel 1612 da C. G. Bachet nei suoi Problèmes plaisant.

Oggi, grazie anche a Martin Gardner che ne ha data ampia diffusione nei suoi articoli su “Scientific American” prima e nel suo Enigmi e giochi matematici poi, i quadrati magici sono diventati parte fondamentale di quella branca della Matematica che va sotto il nome di Matematica Ricreativa.